Cách giải phương trình bậc ba

Phương trình bậc ba được đề cập lần đầu tiên bởi nhà toán học Ấn Độ cổ Jaina khoảng giữa năm 400 TCN và 200 CN.

Nhà toán học Ba-tư Omar Khayyám (1048–1123) đã công bố việc giải phương trình bậc ba nhờ giao của một thiết diện co-nic với đường tròn. Ông công bố rằng lời y có thể dùng để cho các lời giải số nhờ các bảng lượng giác.

Sau này vào thế kỷ 16, nhà toán học người Ý Scipione del Ferro (1465-1526) tìm ra cách giải một lớp các phương trình bậc ba dạng x³ + mx = n với m và n đều lớn hơn 0.^[1]Thực ra, mọi phương trình bậc ba có thể đưa về dạng này. Tuy nhiên có thể dẫn đến căn bậc hai của những số âm, điều đó lúc này chưa giải quyết được. Del Ferro giữ kín điều này cho đến trước khi ông chết mới nói cho học trò ông là sinh viên Antonio Fiore về nó

Vào 1530, Niccolo Tartaglia (1500-1557) tiếp nhận hai bài toán trong phương trình bậc ba từ Zuanne da Coi và công bố ông đã giải được chúng. Ông nhận lời thách thức của Fiore, và từ đó dấy lên cuộc cãi vã giữa hai người. Mỗi người hàng ngày đặt một số tiền và đưa ra một số bài toán cho đối thủ giải. Ai giải được nhiều bài toán hơn trong 30 ngày thì nhận tất cả số tiền.

Tartaglia khi giải quyết các vấn đề trong dạng x³ + mx = n, đã đề xuất một phương pháp tổng quát hơn. Fiore giải quyết các vấn đề trong dạng x³ + mx² = n, khó hơn và Tartaglia đã thắng cuộc.

Sau này, Tartaglia được Gerolamo Cardano (1501-1576) thuyết phục tiết lộ bí mật của cách giải phương trình bậc ba. Tartaglia đã đặt điều kiện yêu cầu Cardano không tiết lộ nó. Ít năm sau, Cardano hiểu được công trình của Ferro và vi phạm lời hứa khi công bố phương pháp Tartaglia trong cuốn sách của ông nhan đề Ars Magna (1545) với lời ca ngợi dành cho Tartaglia

Với trường hợp ∆ (DELTA) âm, người ta hay dùng phương pháp lượng giác để giải quyết nó, tuy vậy, đây là phương pháp không đại số và nghiệm tính ra vẫn là gần đúng do phải sử dụng các hàm số cosin và arccosin. Và công thức đại số cho nghiệm tổng quát vẫn chưa thể hoàn thiện. (Công thức đại số nghiệm tổng quát là công thức tìm ra nghiệm của phương trình tổng quát mà chỉ dùng hữu hạn lần 6 phép toán cơ bản là cộng (+), trừ (-), nhân (×), chia (:), lũy thừa (^) và khai căn (√)).

α₃x³ + α₂x² + α₁x + α₀ = 0.

Thông thường. trong toán học sơ cấp, các hệ số α₀,..., α₃ là các số thực. Tuy nhiên đa số lý thuyết cũng đúng nếu các hệ số lấy trong một trường có đặc số (?) khác 3. Ta luôn giả sử rằng α₃ khác không.Có thể giải được một phương trình bậc ba bằng căn thức.

Phương pháp Cardano

Nghiệm của phương trình có thể tìm được bằng phương pháp sau, đề xuất bởi Scipione del Ferro và Niccolò Tartaglia, công bố bởi Gerolamo Cardano năm 1545.^[1]

Trước tiên, chia phương trình cho α₃ để đưa về dạng

${\displaystyle x^{3}+ax^{2}+bx+c=0.\qquad (1)}$

Đặt x = t - a/3 và biến đổi ta có phương trình

${\displaystyle t^{3}+pt+q=0,}$ trong đó ${\displaystyle p=b-{\frac {a^{2}}{3}}}$ và ${\displaystyle q=c+{\frac {2a^{3}-9ab}{27}}.\qquad (2)}$

Nó được gọi là phương trình bậc ba suy biến.

Ta sẽ tìm các số u và v sao cho

${\displaystyle u^{3}-v^{3}=q}$ và ${\displaystyle uv={\frac {p}{3}}.\qquad (3)}$

một nghiệm của nó tìm được từ việc đặt

${\displaystyle t=v-u,\,}$

có thể kiểm tra trực tiếp khi thay giá trị t vào (2), nhờ hằng đảng thức lập phương của nhị thức

${\displaystyle (v-u)^{3}+3uv(v-u)+(u^{3}-v^{3})=0\,}$

Hệ (3) có thể giải từ phương trình thứ hai rút v, ta có

${\displaystyle v={\frac {p}{3u}}.}$

Thay vào phương trình thứ nhất trong (3) ta có

${\displaystyle u^{3}-{\frac {p^{3}}{27u^{3}}}=q.}$

Phương trình này tương đương với một phương trình bậc hai với u³. Khi giải, ta tìm được

${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}.\qquad (4)}$

Vì t = v − u và t = x + a/3, ta tìm được

${\displaystyle x={\frac {p}{3u}}-u-{a \over 3}.}$

Chú ý rằng, có sáu giá trị u tìm được từ (4), vì có hai căn bậc ba ứng với hai dấu (${\displaystyle \pm }$), và mỗi căn bậc ba có ba giá trị (một giá trị thực và hai tích của nó với ${\displaystyle -1/2\pm i{\sqrt {3}}/2}$). Tuy nhiên, dấu của các căn phải chọn sao cho khi tính x, không gặp trường hợp chia cho không. Thứ nhất, nếu p = 0, thì chọn dấu của căn bậc hai sao cho u khác 0, i.e. ${\displaystyle u={\sqrt[{3}]{q}}}$. Thứ hai, nếu p = q = 0, thì ta có x = −a/3.

Phương pháp tổng hợp và lượng giác cho mọi trường hợp

Đây là phần tóm tắt kết quả bài giải phương trình bậc ba: ${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0(a<>0)}$

(Lưu ý là các kết quả của lượng giác là ở trong môi trường độ)

Đặt các giá trị:

${\displaystyle \Delta =b^{2}-3ac}$

${\displaystyle k={\frac {9abc-2b^{3}-27a^{2}d}{2{\sqrt {|\Delta |^{3}}}}}}$ ${\displaystyle (\Delta <>0)}$

1) Nếu ${\displaystyle \Delta >0}$

1.1) |k| ≤ 1: Phương trình có ba nghiệm

${\displaystyle x_{1}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos({\frac {\arccos(k)}{3}})-b}{3a}}}$

${\displaystyle x_{2}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos({\frac {\arccos(k)}{3}}-{\frac {2\pi }{3}})-b}{3a}}}$

${\displaystyle x_{3}={\frac {2{\sqrt {\Delta }}\cos({\frac {\arccos(k)}{3}}+{\frac {2\pi }{3}})-b}{3a}}}$

1.2) |k| > 1: Phương trình có một nghiệm duy nhất

${\displaystyle x={\frac {{\sqrt {\Delta }}|k|}{3ak}}\left({\sqrt[{3}]{|k|+{\sqrt {k^{2}-1}}}}+{\sqrt[{3}]{|k|-{\sqrt {k^{2}-1}}}}\right)-{\frac {b}{3a}}}$

2) Nếu ${\displaystyle \Delta =0}$: Phương trình có một nghiệm bội

${\displaystyle x={\frac {-b+{\sqrt[{3}]{b^{3}-27a^{2}d}}}{3a}}}$

3) Nếu ${\displaystyle \Delta <0}$: Phương trình có một nghiệm duy nhất

${\displaystyle x={\frac {\sqrt {|\Delta |}}{3a}}\left({\sqrt[{3}]{k+{\sqrt {k^{2}+1}}}}+{\sqrt[{3}]{k-{\sqrt {k^{2}+1}}}}\right)-{\frac {b}{3a}}}$